Jak obliczyć wyraz i sumę ciągu?
Ciąg arytmetyczny powstaje przez dodawanie stałej różnicy, a geometryczny przez mnożenie przez stały iloraz. Aby znaleźć dowolny wyraz, nie trzeba wypisywać całego ciągu: wystarczy pierwszy wyraz, krok i numer szukanego wyrazu. Z tych samych danych liczy się też sumę początkowych wyrazów.
Wzory krok po kroku
- Arytmetyczny wyraz: aₙ = a₁ + (n − 1)·r. Dla a₁ = 2, r = 3, n = 5 to 2 + 12 = 14.
- Arytmetyczna suma: Sₙ = n·(a₁ + aₙ) ÷ 2 = 5·(2 + 14) ÷ 2 = 40.
- Geometryczny wyraz: aₙ = a₁·q^(n−1); suma Sₙ = a₁·(qⁿ − 1) ÷ (q − 1).
Arytmetyczny czy geometryczny
| Cecha | Arytmetyczny | Geometryczny |
|---|---|---|
| krok | różnica r (dodawanie) | iloraz q (mnożenie) |
| wzrost | liniowy | wykładniczy |
| przykład | 2, 5, 8, 11 | 2, 6, 18, 54 |
Najczęstsze pytania
Jak obliczyć n-ty wyraz ciągu arytmetycznego?
Dodaj do pierwszego wyrazu iloczyn różnicy i liczby kroków. Wzór to aₙ = a₁ + (n − 1)·r. Dla a₁ = 2, r = 3 i n = 5 wychodzi 2 + 4·3 = 14.
Jak obliczyć sumę ciągu arytmetycznego?
Dodaj pierwszy i ostatni wyraz, pomnóż przez liczbę wyrazów i podziel przez dwa: Sₙ = n·(a₁ + aₙ) ÷ 2. To średnia skrajnych wyrazów razy ich liczba.
Czym różni się ciąg arytmetyczny od geometrycznego?
W arytmetycznym każdy kolejny wyraz powstaje przez dodanie stałej różnicy, a w geometrycznym przez pomnożenie przez stały iloraz. Pierwszy rośnie liniowo, drugi wykładniczo.
Jaki jest wzór na sumę ciągu geometrycznego?
Dla ilorazu różnego od jedynki suma to Sₙ = a₁·(qⁿ − 1) ÷ (q − 1). Gdy iloraz wynosi 1, wszystkie wyrazy są równe, więc suma to po prostu n·a₁.
Czy różnica lub iloraz mogą być ujemne?
Tak. Ujemna różnica daje ciąg malejący, a ujemny iloraz sprawia, że wyrazy zmieniają znak naprzemiennie. Kalkulator obsługuje oba przypadki.