Jak liczy się wyrazy ciągu Fibonacciego?
Zasada jest jedna i mieści się w jednym zdaniu: każdy wyraz to suma dwóch poprzednich, a zaczynamy od pary jedynek. Z tak prostej reguły wychodzi ciąg, który rośnie wykładniczo, a iloraz sąsiednich wyrazów zbiega do złotej liczby. Stąd bierze się jego obecność w zadaniach o rozmnażaniu królików i w proporcjach architektury.
Wzór i przykład
F(n) = F(n − 1) + F(n − 2), przy F(1) = 1 oraz F(2) = 1
- Zaczynamy od 1 i 1.
- Trzeci wyraz to 1 + 1, czyli 2, a czwarty 1 + 2, czyli 3.
- Idąc dalej, otrzymujemy 5, 8, 13, 21, 34 i 55.
- Dziesiąty wyraz wynosi więc 55.
- Suma pierwszych dziesięciu wyrazów to 143, czyli dwunasty wyraz pomniejszony o jeden.
| Numer wyrazu | Wartość | Suma początkowych wyrazów |
|---|---|---|
| 5 | 5 | 12 |
| 10 | 55 | 143 |
| 15 | 610 | 1 596 |
| 20 | 6 765 | 17 710 |
| 30 | 832 040 | 2 178 308 |
Ciąg arytmetyczny i geometryczny policzy kalkulator ciągów, rozkład liczby na czynniki pierwsze kalkulator liczb pierwszych, a największy wspólny dzielnik kalkulator NWD i NWW.
Najczęstsze pytania
Ile wynosi dziesiąty wyraz ciągu Fibonacciego?
55. Pierwsze dwanaście wyrazów to 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 i 144.
Jaka jest suma pierwszych dziesięciu wyrazów?
143. Zamiast dodawać po kolei, wystarczy wziąć dwunasty wyraz, czyli 144, i odjąć jeden.
Co ma wspólnego ciąg Fibonacciego ze złotą liczbą?
Iloraz sąsiednich wyrazów zbliża się do złotej liczby 1,618034. Dla wyrazów dziesiątego i dziewiątego wychodzi 1,617647, a dla dwudziestego i dziewiętnastego już 1,618034.
Jak szybko rosną wyrazy ciągu?
Bardzo szybko, bo każdy jest około 1,618 razy większy od poprzedniego. Dwudziesty wyraz to 6765, trzydziesty 832 040, a czterdziesty ponad 102 miliony.
Od jakich liczb zaczyna się ciąg?
Od dwóch jedynek w wersji szkolnej albo od zera i jedynki w wersji spotykanej w informatyce. Obie dają identyczną listę liczb, różnią się wyłącznie numeracją wyrazów.