Odchylenie standardowe, średnia i mediana z listy liczb
Odchylenie standardowe mierzy, jak mocno wyniki rozrzucone są wokół średniej: dla klasycznego zbioru 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 średnia wynosi 5, a odchylenie równo 2. Kalkulator przyjmuje listę liczb wklejoną albo wpisaną z klawiatury i liczy naraz średnią, medianę, wariancję oraz oba odchylenia: populacyjne σ (dzielenie przez n) i próbkowe s (przez n − 1), między którymi najczęściej gubią się porównania z Excelem.
Wzór i przykład
σ = √( Σ(x − średnia)² ÷ n ); s = √( Σ(x − średnia)² ÷ (n − 1) )
- Zbiór 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9: średnia = 40 ÷ 8 = 5.
- Kwadraty odchyleń: 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16; ich suma to 32, a 32 ÷ 8 = 4 to wariancja.
- Odchylenie populacyjne σ = √4 = 2; próbkowe s = √(32 ÷ 7) = 2,14.
| Zbiór danych | Średnia | Mediana | σ (populacja) | s (próba) |
|---|---|---|---|---|
| 4, 5, 3, 5, 4 (oceny) | 4,2 | 4 | 0,75 | 0,84 |
| 1, 2, 3, 4, 5 | 3 | 3 | 1,41 | 1,58 |
| 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 | 5 | 4,5 | 2 | 2,14 |
| 10, 12, 23, 23, 16, 23, 21, 16 | 18 | 18,5 | 4,9 | 5,24 |
Im większe odchylenie względem średniej, tym mniej średnia mówi o pojedynczym wyniku. Dwa pierwsze wiersze mają podobną skalę ocen, ale różny rozrzut; w ostatnim odchylenie 4,9 przy średniej 18 oznacza, że typowy wynik potrafi odbiegać od średniej o ponad jedną czwartą jej wartości.
Najczęstsze pytania
Jak obliczyć odchylenie standardowe?
Policz średnią, odejmij ją od każdej liczby, podnieś różnice do kwadratu, uśrednij je i wyciągnij pierwiastek. Dla zbioru 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 średnia to 5, średnia kwadratów odchyleń 4, a odchylenie standardowe równo 2.
Czym różni się odchylenie populacyjne od próbkowego?
Wyłącznie dzielnikiem: populacyjne σ dzieli przez liczbę elementów n, a próbkowe s przez n − 1. Dla ośmiu liczb 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 wychodzi σ = 2 oraz s = 2,14. Próbkowego używa się, gdy dane to wycinek większej całości, bo dzielenie przez n − 1 kompensuje niedoszacowanie rozrzutu.
Co mówi odchylenie standardowe o ocenach klasy?
Jak daleko wyniki rozjeżdżają się od średniej. Oceny 4, 5, 3, 5, 4 mają średnią 4,2 i odchylenie σ = 0,75, czyli klasa jest wyrównana. Ten sam test ze średnią 4,2, ale ocenami od 1 do 6, miałby odchylenie kilka razy większe.
Kiedy mediana mówi więcej niż średnia?
Gdy w danych siedzą wartości odstające. W zbiorze 10, 12, 23, 23, 16, 23, 21, 16 średnia to 18, a mediana 18,5; obie zgodne. Gdyby jednak dopisać jeden wynik 200, średnia skoczy powyżej 38, a mediana ledwo drgnie, dlatego zarobki opisuje się medianą.
Które odchylenie liczy Excel i kalkulator w telefonie?
Excel ma obie funkcje: ODCH.STANDARD.POPUL dzieli przez n, a ODCH.STANDARDOWE przez n − 1. Jeśli Twój wynik różni się od naszego σ, niemal na pewno porównujesz go z wersją próbkową s; obie stoją w tym kalkulatorze obok siebie.