Jak dopasować prostą do danych?
Punkty pomiarowe nigdy nie leżą idealnie na jednej linii. Metoda najmniejszych kwadratów wybiera tę prostą, przy której suma kwadratów pionowych odchyleń jest najmniejsza, czyli takie ustawienie, które kompromisowo trafia między wszystkie obserwacje. Otrzymane nachylenie mówi, o ile zmienia się wartość przy wzroście argumentu o jednostkę, a współczynnik korelacji ocenia, na ile ta prosta w ogóle pasuje do chmury punktów.
Wzór i przykład
nachylenie = suma iloczynów odchyleń od średnich ÷ suma kwadratów odchyleń argumentu
- Mamy sześć par: argumenty od 1 do 6 i wartości 3, 4, 6, 5, 8 oraz 9.
- Średnia argumentów wynosi 3,5, a średnia wartości 5,8333.
- Suma iloczynów odchyleń daje 20,5, a suma kwadratów odchyleń argumentu 17,5.
- Nachylenie to 20,5 ÷ 17,5 = 1,1714, a wyraz wolny 5,8333 − 1,1714 × 3,5 = 1,7333.
- Współczynnik korelacji wychodzi 0,946, więc prosta opisuje dane dobrze.
| Współczynnik korelacji | Co oznacza |
|---|---|
| 1 albo −1 | punkty leżą dokładnie na prostej |
| około 0,9 | silna zależność liniowa |
| około 0,5 | zależność widoczna, ale z dużym rozrzutem |
| około 0 | brak zależności liniowej |
Rozrzut i medianę zbioru policzy kalkulator odchylenia standardowego, wartość pośrednią między dwoma punktami kalkulator interpolacji liniowej, a prostą przez dokładnie dwa punkty kalkulator równania prostej.
Najczęstsze pytania
Jak wyznaczyć równanie prostej regresji?
Z ilorazu kowariancji i wariancji argumentu. Dla par od 1 do 6 z wartościami 3, 4, 6, 5, 8 i 9 wychodzi nachylenie 1,1714 oraz wyraz wolny 1,7333.
Co oznacza współczynnik korelacji 0,946?
Silną zależność liniową rosnącą. Punkty układają się blisko prostej, a jej kwadrat 0,8949 mówi, że prosta opisuje niespełna 90 procent zmienności wartości.
Czy wysoka korelacja dowodzi związku przyczynowego?
Nie. Współczynnik mierzy tylko to, jak blisko prostej leżą punkty. Dwie wielkości mogą rosnąć razem, bo obie zależą od trzeciej, o której dane nic nie mówią.
Jak przewidzieć wartość dla nowego argumentu?
Podstawiając go do równania prostej. Przy nachyleniu 1,1714 i wyrazie wolnym 1,7333 argument 7 daje 9,9333.
Co robi reszta w tym rachunku?
Pokazuje różnicę między obserwacją a wartością z prostej. Dla pierwszej pary z przykładu reszta wynosi 0,0952, czyli punkt leży odrobinę powyżej dopasowanej prostej.