Jak obliczyć iloczyn skalarny i kąt między wektorami?
Iloczyn skalarny sprowadza dwa wektory do jednej liczby, która mówi, na ile jeden z nich pokrywa się z drugim. Dodatnia oznacza kąt ostry, ujemna rozwarty, a zero kąt prosty. Z tej samej liczby wyprowadza się kąt, bo wystarczy podzielić ją przez iloczyn długości i odczytać cosinus.
Wzór i przykład
a · b = ax × bx + ay × by + az × bz
- Pierwszy wektor ma współrzędne 1, 2, 3, a drugi 4, 5, 6.
- Mnożymy parami: 4, potem 10, potem 18.
- Suma wynosi 32, więc taki jest iloczyn skalarny.
- Długości wektorów to 3,7417 oraz 8,775.
- Cosinus kąta wynosi 0,9746, czyli kąt ma 12,93 stopnia.
| Pierwszy wektor | Drugi wektor | Iloczyn skalarny | Kąt |
|---|---|---|---|
| 1, 2, 3 | 4, 5, 6 | 32 | 12,93° |
| 3, 4, 0 | 4, -3, 0 | 0 | 90° |
| 1, 1, 0 | 1, 0, 0 | 1 | 45° |
| 5, 0, 0 | 3, 4, 0 | 15 | 53,13° |
| 2, 3, 0 | 4, 6, 0 | 26 | 0° |
Składanie dwóch sił o zadanym kącie policzy kalkulator siły wypadkowej, wyznacznik i macierz odwrotną kalkulator wyznacznika macierzy, a kąty w trójkącie kalkulator boków i kątów trójkąta.
Najczęstsze pytania
Jak obliczyć iloczyn skalarny wektorów?
Mnożymy odpowiadające sobie współrzędne i sumujemy wyniki. Dla wektorów o współrzędnych 1, 2, 3 oraz 4, 5, 6 wychodzi 4 plus 10 plus 18, czyli 32.
Jak wyznaczyć kąt między wektorami?
Dzielimy iloczyn skalarny przez iloczyn długości i z otrzymanego cosinusa odczytujemy kąt. Dla wektorów 1, 2, 3 oraz 4, 5, 6 cosinus wynosi 0,9746, co odpowiada kątowi 12,93 stopnia.
Kiedy wektory są prostopadłe?
Wtedy, gdy ich iloczyn skalarny wynosi zero. Wektory o współrzędnych 3, 4 oraz 4, minus 3 mają iloczyn skalarny równy zero, więc tworzą kąt prosty, choć obydwa mają długość 5.
Czym różni się iloczyn skalarny od wektorowego?
Skalarny daje liczbę i mówi o rzucie jednego wektora na drugi, a wektorowy daje nowy wektor prostopadły do obu. Dla wektorów 1, 2, 3 oraz 4, 5, 6 iloczyn wektorowy ma współrzędne minus 3, 6 oraz minus 3.
Jak policzyć pole równoległoboku z wektorów?
Bierzemy długość iloczynu wektorowego. Dla wektorów 1, 2, 3 oraz 4, 5, 6 wynosi ona 7,3485, więc tyle wynosi pole równoległoboku zbudowanego na tych wektorach.