Jak zapisać równanie okręgu?
Okrąg to zbiór punktów oddalonych od środka o stałą odległość, więc jego równanie wynika wprost ze wzoru na odległość dwóch punktów. Stąd bierze się postać kanoniczna z dwoma kwadratami nawiasów i promieniem po prawej stronie. Postać ogólna to ta sama zależność po wymnożeniu, tylko środek i promień trzeba z niej wydobyć.
Wzór i przykład
(x − a)² + (y − b)² = r²
- Środek okręgu leży w punkcie o współrzędnych 2 i minus 3, a promień wynosi 5.
- Do nawiasów wstawiamy współrzędne ze zmienionym znakiem: iks minus dwa oraz igrek plus trzy.
- Po prawej stronie zapisujemy kwadrat promienia, czyli 25.
- Wymnażając nawiasy, otrzymujemy postać ogólną z wyrazami minus cztery iksy, sześć igreków i minus dwanaście.
- Pole takiego koła wynosi 78,54, a obwód okręgu 31,42.
| Środek | Promień | Postać ogólna | Pole koła |
|---|---|---|---|
| (0, 0) | 3 | x² + y² − 9 = 0 | 28,27 |
| (2, -3) | 5 | x² + y² − 4x + 6y − 12 = 0 | 78,54 |
| (-1, 4) | 2 | x² + y² + 2x − 8y + 13 = 0 | 12,57 |
| (3, 3) | 6 | x² + y² − 6x − 6y − 18 = 0 | 113,1 |
Równanie prostej przez dwa punkty wyznaczy kalkulator równania prostej, pole i obwód figur kalkulator pola i obwodu, a odległość między punktami w przestrzeni kalkulator iloczynu skalarnego wektorów.
Najczęstsze pytania
Jak zapisać równanie okręgu o środku (2, -3) i promieniu 5?
W postaci kanonicznej jest to kwadrat wyrażenia iks minus dwa plus kwadrat wyrażenia igrek plus trzy, równe 25. W postaci ogólnej: iks kwadrat plus igrek kwadrat minus cztery iksy plus sześć igreków minus dwanaście równa się zero.
Skąd biorą się znaki w nawiasach?
Ze wzoru na odległość punktu od środka, w którym od współrzędnych punktu odejmujemy współrzędne środka. Dlatego dla środka o drugiej współrzędnej minus trzy w nawiasie pojawia się plus trzy.
Jak z postaci ogólnej odczytać środek i promień?
Środek to połowa współczynników przy iksie i igreku ze zmienionym znakiem, a promień pierwiastek z sumy kwadratów tych połówek pomniejszonej o wyraz wolny. Dla równania z współczynnikami minus cztery, sześć i minus dwanaście wychodzi środek (2, -3) i promień 5.
Kiedy równanie nie opisuje okręgu?
Gdy wyrażenie pod pierwiastkiem wychodzi ujemne, bo promień musiałby być liczbą urojoną. Wartość dokładnie zero opisuje pojedynczy punkt, nazywany okręgiem zdegenerowanym.
Jak sprawdzić, czy punkt leży na okręgu?
Policzyć jego odległość od środka i porównać z promieniem. Punkt (6, 1) leży od środka (2, -3) w odległości 5,66, czyli więcej niż promień 5, więc znajduje się na zewnątrz okręgu.