Jak stosować twierdzenie sinusów?
Twierdzenie sinusów wiąże boki trójkąta z kątami leżącymi naprzeciw nich: stosunek boku do sinusa tego kąta jest dla wszystkich trzech par taki sam. Przydaje się dokładnie tam, gdzie twierdzenie cosinusów nie pomaga, czyli gdy w zadaniu podano dwa kąty i jeden bok. Wtedy trzeci kąt bierze się z sumy kątów, a pozostałe boki z prostej proporcji.
Wzór i przykład
a ÷ sin A = b ÷ sin B = c ÷ sin C
- Dane: kąt A równy 40 stopni, kąt B równy 60 stopni, bok c równy 10.
- Trzeci kąt: 180 minus 40 minus 60, czyli 80 stopni.
- Bok a: 10 razy sinus 40 stopni podzielone przez sinus 80 stopni.
- Wychodzi 6,53.
- Tym samym sposobem bok b wynosi 8,79, a pole trójkąta 28,26.
| Wielkość | Wartość dla przykładu |
|---|---|
| Kąt C | 80° |
| Bok a | 6,53 |
| Bok b | 8,79 |
| Obwód | 25,32 |
| Promień okręgu opisanego | 5,08 |
Trójkąt z trzech boków albo z dwóch boków i kąta między nimi policzy kalkulator boków i kątów trójkąta, a przeciwprostokątną kalkulator twierdzenia Pitagorasa.
Najczęstsze pytania
Na czym polega twierdzenie sinusów?
Stosunek długości boku do sinusa kąta leżącego naprzeciw niego jest taki sam dla wszystkich trzech boków trójkąta. Ta wspólna wartość równa się średnicy okręgu opisanego.
Kiedy używać sinusów, a kiedy cosinusów?
Sinusów, gdy znamy kąt i leżący naprzeciw niego bok. Cosinusów, gdy znamy trzy boki albo dwa boki i kąt między nimi. To dwa różne zestawy danych wejściowych.
Jak obliczyć bok znając dwa kąty i jeden bok?
Najpierw z sumy kątów wyznaczamy trzeci kąt, potem przekształcamy twierdzenie sinusów. Dla kątów 40 i 60 stopni oraz boku 10 naprzeciw kąta 80 wychodzi 6,53 oraz 8,79.
Dlaczego przypadek dwóch boków i kąta bywa niejednoznaczny?
Bo sinus przyjmuje tę samą wartość dla kąta ostrego i rozwartego. Przy takich danych pasować mogą dwa różne trójkąty i bez dodatkowej informacji nie da się wybrać właściwego.
Jak wyznaczyć promień okręgu opisanego?
Dzielimy dowolny bok przez podwojony sinus kąta leżącego naprzeciw. Dla boku 6,53 i kąta 40 stopni wychodzi 5,08.