Skąd we wzorze bierze się pierwiastek z sumy kwadratów?
Wyrażenie Ax + By + C mówi, jak daleko od prostej leży punkt, ale w jednostkach zależnych od tego, jak zapisano równanie. Ta sama prosta pomnożona obustronnie przez dwa dałaby dwa razy większą liczbę, choć w rzeczywistości nic się nie zmieniło. Dlatego dzielimy przez długość wektora prostopadłego do prostej, czyli przez pierwiastek z sumy kwadratów współczynników przy x i y. Po tym unormowaniu wynik jest już prawdziwą odległością, niezależną od zapisu równania.
Wzór i przykład
d = |A × x₀ + B × y₀ + C| ÷ pierwiastek z (A² + B²)
- Prosta ma postać 3x − 4y + 5 = 0, a punkt to (2, 3).
- Podstawiamy współrzędne: 3 × 2 − 4 × 3 + 5 = −1.
- Wartość bezwzględna licznika wynosi 1.
- Mianownik to pierwiastek z 9 + 16, czyli 5.
- Odległość wynosi 1 ÷ 5 = 0,2, a rzut prostopadły wypada w punkcie (2,12; 2,84).
| Prosta | Punkt | Odległość |
|---|---|---|
| 3x − 4y + 5 = 0 | (2, 3) | 0,2 |
| x + y − 4 = 0 | (0, 0) | 2,8284 |
| 2x − y + 1 = 0 | (3, −1) | 3,5777 |
| 3x − 4y + 5 = 0 | (1, 2) | 0 |
Prostą przechodzącą przez dwa zadane punkty wyznaczy kalkulator równania prostej, długość odcinka w trójkącie prostokątnym kalkulator twierdzenia Pitagorasa, a pole i obwód figury kalkulator pola i obwodu.
Najczęstsze pytania
Jaka jest odległość punktu (2, 3) od prostej 3x − 4y + 5 = 0?
0,2. Do licznika wchodzi wartość bezwzględna z 3 razy 2 minus 4 razy 3 plus 5, czyli 1, a mianownik to pierwiastek z 9 plus 16, czyli 5.
Jak znaleźć rzut prostopadły punktu na prostą?
Odejmuje się od współrzędnych punktu wektor prostopadły do prostej o odpowiedniej długości. Dla punktu (2, 3) i prostej 3x − 4y + 5 = 0 spodek wypada w (2,12; 2,84).
Skąd wiadomo, po której stronie prostej leży punkt?
Ze znaku wyrażenia Ax + By + C po podstawieniu współrzędnych. Dla punktu (2, 3) i prostej 3x − 4y + 5 = 0 wychodzi −1, czyli znak ujemny, a dla punktu (0, 0) wychodzi 5, więc te dwa punkty leżą po przeciwnych stronach prostej.
Jak przejść z postaci ogólnej na kierunkową?
Wyznacza się y, czyli dzieli obie strony przez B i zmienia znaki. Prosta 3x − 4y + 5 = 0 to y = 0,75x + 1,25.
Co, jeśli punkt leży na prostej?
Odległość wynosi zero, a rzut prostopadły i punkt symetryczny pokrywają się z samym punktem. Tak jest na przykład dla (1, 2) i prostej 3x − 4y + 5 = 0.