Jak liczy się działania na liczbach zespolonych?
Liczba zespolona to para współrzędnych na płaszczyźnie: część rzeczywista odkłada się na osi poziomej, urojona na pionowej. Dodawanie działa więc jak dodawanie wektorów, a mnożenie obraca i skaluje. Przy mnożeniu jedyną nową regułą jest to, że kwadrat jednostki urojonej wynosi minus jeden, przez co iloczyn dwóch części urojonych wraca do części rzeczywistej i potrafi zmienić znak wyniku.
Wzór i przykład
iloczyn = (a1 × a2 − b1 × b2) + (a1 × b2 + b1 × a2) razy jednostka urojona
- Bierzemy liczby 3 + 4i oraz 1 − 2i.
- Część rzeczywista to 3 × 1 − 4 × (−2) = 11.
- Część urojona to 3 × (−2) + 4 × 1 = −2.
- Wynik wynosi 11 − 2i, a jego moduł 11,1803.
- Ten sam moduł wychodzi z mnożenia modułów obu liczb, czyli 5 razy 2,2361.
| Działanie na 3 + 4i i 1 − 2i | Wynik |
|---|---|
| Dodawanie | 4 + 2i |
| Odejmowanie | 2 + 6i |
| Mnożenie | 11 − 2i |
| Dzielenie | −1 + 2i |
Deltę i miejsca zerowe funkcji kwadratowej policzy kalkulator równania kwadratowego, kąt między wektorami kalkulator iloczynu skalarnego, a zamianę stopni na radiany kalkulator stopni i radianów.
Najczęstsze pytania
Ile wynosi iloczyn liczb 3 + 4i oraz 1 − 2i?
11 − 2i. Iloczyn rozwija się jak zwykłe nawiasy, a na końcu iloczyn jednostek urojonych zamienia się na minus jeden, co dodaje 8 do części rzeczywistej.
Jak podzielić liczby zespolone?
Mnożąc licznik i mianownik przez sprzężenie mianownika. Iloraz liczb 3 + 4i i 1 − 2i wynosi −1 + 2i, bo mianownik po tej operacji zmienia się w liczbę 5.
Ile wynosi moduł liczby 3 + 4i?
Dokładnie 5, bo pierwiastek z sumy kwadratów 9 i 16 daje 25 pod pierwiastkiem. Argument tej liczby to 53,13 stopnia.
Czym jest sprzężenie liczby zespolonej?
Liczbą o tej samej części rzeczywistej i przeciwnej urojonej. Dla 3 + 4i jest to 3 − 4i, a ich iloczyn daje 25, czyli kwadrat modułu.
Po co liczy się postać trygonometryczną?
Bo w niej mnożenie sprowadza się do mnożenia modułów i dodawania argumentów. Przy potęgowaniu i pierwiastkowaniu jest to znacznie krótsza droga niż rozwijanie nawiasów.