Jak mnoży się macierze?
Mnożenie macierzy nie polega na mnożeniu liczb stojących w tych samych miejscach. Każdy element wyniku powstaje z całego wiersza pierwszej macierzy i całej kolumny drugiej: liczby zestawia się parami, mnoży i sumuje. Stąd bierze się warunek zgodności wymiarów oraz najczęstsza pułapka tego działania, czyli zależność wyniku od kolejności czynników. Przy przekształceniach geometrycznych odpowiada ona kolejności obrotu i przesunięcia, które dają różne położenie figury.
Wzór i przykład
element wyniku = suma iloczynów liczb z wiersza pierwszej macierzy i kolumny drugiej
- Macierz A ma wiersze 1 2 oraz 3 4, macierz B wiersze 5 6 oraz 7 8.
- Pierwszy element wyniku bierze pierwszy wiersz A i pierwszą kolumnę B: 1 × 5 + 2 × 7 = 19.
- Drugi element pierwszego wiersza to 1 × 6 + 2 × 8 = 22.
- Drugi wiersz liczy się tak samo i daje 43 oraz 50.
- W drugą stronę wychodzą wiersze 23 34 oraz 31 46, czyli inny wynik.
| Wymiar A | Wymiar B | Wynik |
|---|---|---|
| 2×2 | 2×2 | 2×2 |
| 2×3 | 3×2 | 2×2 |
| 3×3 | 3×1 | 3×1 |
| 2×3 | 2×3 | działanie niewykonalne |
Wyznacznik i sprawdzenie osobliwości poda kalkulator wyznacznika macierzy, rozwiązanie układu dwóch równań kalkulator układu równań, a kąt między wektorami kalkulator iloczynu skalarnego.
Najczęstsze pytania
Jak pomnożyć dwie macierze 2×2?
Każdy element wyniku to suma dwóch iloczynów. Dla macierzy o wierszach 1 2 oraz 3 4 i drugiej o wierszach 5 6 oraz 7 8 pierwszy element wynosi 1 × 5 + 2 × 7 = 19, a cały wynik ma wiersze 19 22 oraz 43 50.
Czy mnożenie macierzy jest przemienne?
Nie. Dla tych samych macierzy iloczyn w drugą stronę ma wiersze 23 34 oraz 31 46, czyli zupełnie inne liczby. Przy prostokątnych macierzach zamiana kolejności bywa w ogóle niewykonalna.
Kiedy macierzy nie da się pomnożyć?
Gdy liczba kolumn pierwszej nie zgadza się z liczbą wierszy drugiej. Macierz 2×3 można pomnożyć przez 3×2, ale nie przez 2×3.
Jaki wymiar ma wynik mnożenia?
Tyle wierszy, ile ma pierwsza macierz, i tyle kolumn, ile ma druga. Iloczyn macierzy 2×3 przez 3×4 jest macierzą 2×4.
Ile mnożeń wykonuje się przy macierzach 3×3?
Dwadzieścia siedem, bo każdy z dziewięciu elementów wyniku wymaga trzech iloczynów. Przy macierzach 2×2 jest to osiem mnożeń.