Jak wyznaczyć wierzchołek paraboli?
Wierzchołek to punkt, w którym parabola zawraca: najniższy przy ramionach skierowanych w górę i najwyższy przy ramionach w dół. Wyznacza go para wzorów, w których siedzą tylko współczynniki funkcji. Z wierzchołka bierze się też postać kanoniczna, oś symetrii i zbiór wartości, więc jedno wyliczenie odpowiada na kilka pytań z zadania.
Wzór i przykład
p = -b ÷ (2a), q = -delta ÷ (4a)
- Bierzemy funkcję y = x² - 4x + 3, czyli a = 1, b = -4, c = 3.
- Pierwsza współrzędna: 4 podzielone przez 2, czyli p = 2.
- Delta wynosi 16 - 12, czyli 4.
- Druga współrzędna: -4 podzielone przez 4, czyli q = -1.
- Wierzchołek leży w punkcie (2; -1), a postać kanoniczna to y = (x - 2)² - 1.
| Funkcja | Wierzchołek | Ramiona |
|---|---|---|
| y = x² - 4x + 3 | (2; -1) | w górę |
| y = 2x² + 4x - 6 | (-1; -8) | w górę |
| y = -x² + 2x + 8 | (1; 9) | w dół |
| y = x² - 9 | (0; -9) | w górę |
| y = 3x² - 12x + 12 | (2; 0) | w górę |
Samą deltę i miejsca zerowe policzysz kalkulatorem delty, a równanie prostej przez dwa punkty osobnym kalkulatorem.
Najczęstsze pytania
Jak obliczyć wierzchołek paraboli?
Pierwszą współrzędną liczymy jako -b podzielone przez 2a, a drugą jako -delta podzielone przez 4a. Dla y = x² - 4x + 3 wychodzi punkt (2; -1).
Co to jest postać kanoniczna?
Zapis y = a(x - p)² + q, w którym od razu widać wierzchołek. Funkcja y = x² - 4x + 3 ma postać kanoniczną y = (x - 2)² - 1.
Skąd wiadomo, czy wierzchołek to minimum czy maksimum?
Ze znaku współczynnika a. Dodatnie a oznacza ramiona w górę i minimum w wierzchołku, ujemne ramiona w dół i maksimum.
Czym jest oś symetrii paraboli?
Pionową prostą przechodzącą przez wierzchołek, o równaniu x = p. Dla y = x² - 4x + 3 jest to prosta x = 2.
Czy da się wyznaczyć wierzchołek ze wzorów Viete’a?
Tak, pierwsza współrzędna to średnia miejsc zerowych. Dla zer 1 i 3 wychodzi 2, czyli ta sama liczba co z wzoru -b przez 2a. Ten sposób działa tylko wtedy, gdy delta nie jest ujemna.