Jak obliczyć wyznacznik macierzy?
Wyznacznik to jedna liczba, która mówi o macierzy rzecz najważniejszą: czy da się ją odwrócić. Dla wymiaru dwa na dwa liczy się go w pamięci, dla trzy na trzy najwygodniej metodą Sarrusa, w której dopisuje się dwie pierwsze kolumny z prawej strony i mnoży wzdłuż sześciu przekątnych. Wynik zerowy zawsze oznacza kłopot z odwracalnością.
Wzór i przykład
det 2×2 = a₁₁ × a₂₂ − a₁₂ × a₂₁
- Bierzemy macierz o wierszach 3, 4 oraz 2, 5.
- Iloczyn przekątnej głównej to 3 × 5, czyli 15.
- Iloczyn przekątnej bocznej to 4 × 2, czyli 8.
- Wyznacznik wynosi 15 minus 8, czyli 7.
- Skoro nie jest zerem, macierz ma odwrotność o wierszach 0,7143 i minus 0,5714 oraz minus 0,2857 i 0,4286.
| Macierz | Wymiar | Wyznacznik |
|---|---|---|
| [3, 4], [2, 5] | 2 × 2 | 7 |
| [1, 2], [3, 4] | 2 × 2 | -2 |
| [2, 1], [6, 3] | 2 × 2 | 0, macierz osobliwa |
| [2, 1, 3], [0, 4, 1], [5, 2, 0] | 3 × 3 | -59 |
| [1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9] | 3 × 3 | 0, macierz osobliwa |
Rozwiązanie układu dwóch równań poda kalkulator układu równań, deltę i miejsca zerowe kalkulator delty, a działania na wektorach kalkulator iloczynu skalarnego.
Najczęstsze pytania
Jak obliczyć wyznacznik macierzy 2×2?
Mnożymy elementy przekątnej głównej i odejmujemy iloczyn przekątnej bocznej. Dla macierzy o wierszach 3, 4 oraz 2, 5 wychodzi 3 × 5 minus 4 × 2, czyli 7.
Jak liczy się wyznacznik 3×3?
Metodą Sarrusa. Dla macierzy o wierszach 2, 1, 3 oraz 0, 4, 1 oraz 5, 2, 0 suma iloczynów opadających wynosi 5, suma wznoszących 64, więc wyznacznik to minus 59.
Co oznacza wyznacznik równy zero?
Że wiersze macierzy są liniowo zależne, czyli jeden da się otrzymać z pozostałych. Taka macierz nie ma odwrotności, a układ równań o takiej macierzy jest sprzeczny albo ma nieskończenie wiele rozwiązań.
Jak wyznaczyć macierz odwrotną 2×2?
Zamieniamy miejscami elementy przekątnej głównej, zmieniamy znak elementów bocznej i dzielimy przez wyznacznik. Macierz o wierszach 3, 4 oraz 2, 5 ma odwrotność o wierszach 0,7143 i minus 0,5714 oraz minus 0,2857 i 0,4286.
Czy wyznacznik ma sens geometryczny?
Tak. Wartość bezwzględna wyznacznika dwa na dwa równa się polu równoległoboku zbudowanego na wierszach macierzy, a wyznacznika trzy na trzy objętości równoległościanu. Zero oznacza figurę spłaszczoną do odcinka albo płaszczyzny.