Jak rozwiązać układ równań z dwiema niewiadomymi?
Układ 2x + 3y = 12 oraz x − y = 1 ma jedno rozwiązanie: x = 3 i y = 2. Kalkulator liczy metodą wyznaczników i obok wyniku pokazuje wszystkie trzy wyznaczniki, więc widać, dlaczego układ ma jedno rozwiązanie, żadnego albo nieskończenie wiele.
Wzór i przykład
W = a1 razy b2 − a2 razy b1, następnie x = Wx ÷ W oraz y = Wy ÷ W
- Układ: 2x + 3y = 12 oraz x − y = 1.
- Wyznacznik główny: 2 razy (−1) − 1 razy 3 = −5.
- Wyznacznik przy x: 12 razy (−1) − 1 razy 3 = −15.
- Wyznacznik przy y: 2 razy 1 − 1 razy 12 = −10.
- Rozwiązanie: x = −15 ÷ (−5) = 3, y = −10 ÷ (−5) = 2.
| Równanie 1 | Równanie 2 | Wyznacznik główny | Rozwiązanie |
|---|---|---|---|
| 2x + 3y = 12 | x − y = 1 | −5 | x = 3, y = 2 |
| x + y = 10 | x − y = 2 | −2 | x = 6, y = 4 |
| 3x + 2y = 16 | 2x − y = 6 | −7 | x = 4, y = 2 |
| x + y = 5 | 2x + 2y = 7 | 0 | układ sprzeczny |
| x + y = 5 | 2x + 2y = 10 | 0 | nieskończenie wiele rozwiązań |
Pojedyncze równanie z jedną niewiadomą rozwiąże kalkulator równania kwadratowego, a sam wyróżnik kalkulator delty.
Najczęstsze pytania
Jak rozwiązać układ równań z dwiema niewiadomymi?
Najprościej metodą wyznaczników. Dla układu 2x + 3y = 12 oraz x − y = 1 wyznacznik główny wynosi −5, pomocnicze −15 i −10, więc x = 3 i y = 2. Sprawdzenie: 2 razy 3 plus 3 razy 2 daje 12.
Co znaczy, że układ jest sprzeczny?
Że nie ma żadnego rozwiązania. Geometrycznie oba równania opisują proste równoległe, które nigdy się nie przecinają. Poznasz to po zerowym wyznaczniku głównym przy niezerowych pomocniczych.
Kiedy układ ma nieskończenie wiele rozwiązań?
Gdy oba równania opisują tę samą prostą, czyli jedno jest wielokrotnością drugiego. Wtedy wszystkie trzy wyznaczniki są zerowe, a układ nazywamy nieoznaczonym.
Czym jest wyznacznik główny?
Liczbą obliczoną z samych współczynników przy niewiadomych: iloczyn pierwszego z czwartym minus iloczyn drugiego z trzecim. Rozstrzyga, czy układ w ogóle ma jedno rozwiązanie, zanim policzysz same niewiadome.
Czy metoda podstawiania da inny wynik?
Nie, podstawianie, przeciwstawianie i wyznaczniki prowadzą do tego samego rozwiązania. Różnią się liczbą przekształceń, a wyznaczniki jako jedyne od razu pokazują, z którym z trzech przypadków masz do czynienia.